Quantum Computing and Artificial Intelligence

Le tecnologie dell'informazione quantistica e i sistemi di apprendimento intelligente sono entrambe tecnologie emergenti che avranno un impatto trasformativo sulla nostra società. I ricercatori hanno esaminato la questione della misura in cui questi campi possono effettivamente apprendere e trarre vantaggio gli uni dagli altri. Recentemente abbiamo assistito a progressi significativi in ​​entrambe le direzioni di influenza: da un lato, il calcolo quantistico sta trovando un'applicazione vitale nel fornire accelerazioni per i problemi di machine learning, dall’altro il machine learning può diventare strumentale nelle tecnologie quantistiche avanzate. I lavori che esplorano l'uso dell'intelligenza artificiale per la progettazione stessa di esperimenti quantistici e per eseguire parti di ricerca autentica in modo autonomo hanno riportato i loro primi successi [...]
Antonio Matteo Passeri

Data Scientist at Deep Clever by Polaris Engineering srl

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Le tecnologie dell’informazione quantistica e i sistemi di apprendimento intelligente sono entrambe tecnologie emergenti che avranno un impatto trasformativo sulla nostra società. Sono già stati costruiti piccoli computer quantistici come prove di concetto sui quali sono studiati a fondo i principali ostacoli al calcolo quantistico su larga scala. Tra i suoi potenziali usi: il controllo di qualità consentirà di rompere i codici crittografici classici, simulare sistemi quantistici di grandi dimensioni e una ricerca e ottimizzazione più rapide. Ad esempio, le varianti dell’algoritmo di Grover possono essere sfruttate per ottenere una velocità quadratica nei problemi di ricerca e alcuni recenti sviluppi del Quantum Machine Learning hanno portato a guadagni esponenziali in alcune attività di apprendimento. Queste idee hanno il potenziale per esercitare un effetto trasformativo sulla ricerca nell’IA. Inoltre, gli aspetti tecnici del controllo di qualità, che pongono alcuni limiti fisici all’osservazione del funzionamento interno di una macchina quantistica e ostacolano la verifica dei calcoli quantistici, possono rappresentare un’ulteriore sfida per i problemi di allineamento dell’IA. Il Quantum Computing (QC) riesce ad analizzare facilmente i dati in frequenza (FFT) e questo permette di risolvere il problema della fattorizzazione in tempi esponenzialmente più veloci se confrontati anche con quelli del più potente, ad oggi, supercomputer classico.

Quantum Computing

Criteri di DiVincenzo

Un calcolatore quantistico possiede delle caratteristiche tecniche ben diverse da un calcolatore classico. Per la realizzazione di un calcolatore quantistico devono venir presi in considerazione i criteri di DiVincenzo. Questi ci permettono di porre delle linee guida generali da seguire, in particolar modo definendo le quattro caratteristiche fondamentali che deve possedere una tale macchina:

  1. Deve essere in grado di rappresentare i QuBit;
  2. Capace di realizzare su questi un gruppo di trasformazioni unitarie;
  3. Preparare uno stato iniziale con sufficiente fiducia;
  4. Essere in grado di misurarne il risultato finale;

La velocità in cui si eseguono le varie computazioni sul QuBit, fra quando lo stato viene inizializzato e poi misurato, deve essere tale che l’informazione non venga persa a causa della decoerenza (vedi paragrafo successivo). Viene reso possibile così solo un numero finito di operazioni che si possono fare prima di perdere l’informazione.

Un ulteriore dettaglio importante per un efficiente uso di un calcolatore quantistico è la scalabilità. Un processore di tale genere non dovrebbe presentare problemi o costi insostenibili all’aumentare del numero di QuBit che vengono adoperati. È la controparte di quello che avviene nei calcolatori classici, dove si riesce ad aumentare la potenza e la rapidità dei calcoli eseguibili miniaturizzando sempre di più i processori, senza riscontrare perdite di prestazioni. Questo fintanto che non vengano raggiunte delle scale di grandezza fisiche per le quali la miniaturizzazione viene limitata in maniera definitiva.

Decoerenza

Un fenomeno da tenere in considerazione, nei procedimenti di realizzazione di un QuBit, è la decoerenza che porta alla perdita dell’informazione. Simile per certi aspetti ha un effetto paragonabile al rumore dell’elettronica classica, essa non è correlata ad un disturbo esterno ma dipende molto dalla metodologia impiegata con cui sviluppiamo il QuBit. Si tratta di un avvenimento probabilistico, che causa una spontanea e inevitabile perdita di informazione. Similmente come un elettrone in uno stato eccitato tende spontaneamente a perdere energia, per tornare allo stato fondamentale. Questo non avverrebbe in un sistema completamente isolato e si deve a interazioni incontrollate con l’ambiente la cui funzione d’onda non è completamente isolata da quella del sistema. Si sottolinea che la decoerenza rimane comunque un fenomeno quantistico, meglio rappresentabile tramite la Sfera di Bloch (Figura 1) che è altresì una ottima rappresentazione per un QuBit. Questo fenomeno porta alla perdita dello stato di sovrapposizione fra due stati, divenendo una miscela statistica, che può essere descritta dall’operatore di densità.

Figura 1 – Sfera di Bloch, rappresentazione geometrica del Qubit. Sfera di raggio unitario. Il raggio, ottenuto congiungendo un qualsiasi punto della superficie con il centro della sfera, rappresenta lo stato che può assumere il qubit. Quando il raggio punta verso il nord della sfera, per definizione lo stato del qubit coincide con lo “0”. Quando il raggio punta verso il sud della sfera, lo stato del qubit coincide con “1”. In tutti gli altri casi, con il raggio che spazia sulla superficie della sfera, si può definire lo stato relativo del qubit facendo riferimento a due specifiche grandezze: gli angoli formati dal raggio relativamente all’asse verticale della sfera e alla sua proiezione sul piano che la attraversa orizzontalmente, al centro.

Figura 2 – Decoerenza.

Qubit

Supponendo di considerare un atomo con un solo elettrone nell’ultima orbita occupata, l’elettrone può essere spostato (eccitato) in un’orbita più esterna illuminandolo con una luce di una data frequenza e durata. In tal caso l’elettrone esegue un salto quantico in uno stato di energia più elevata. Se lo stato è stabile lo si può utilizzare, insieme allo stato di energia più basso, per rappresentare rispettivamente i numeri 0 e 1.

Se l’atomo “eccitato” viene colpito da un ulteriore impulso di luce, simile al precedente, l’elettrone ritorna nello stato di energia più bassa rilasciando un fotone.

Nel caso particolare in cui la durata del primo impulso di luce dura la metà del tempo necessario per commutare lo stato dell’elettrone, quest’ultimo si troverà simultaneamente in entrambe le orbite. L’elettrone sarà allora in una “sovrapposizione” dei due stati.

Secondo tale logica si può memorizzare un’unità di informazione, il qubit.

Quindi le leggi della meccanica quantistica comportano che oltre agli stati 1 e 0 è possibile anche uno terzo stato, uno stato intermedio o indeterminato, che non può essere considerato 1 o 0. Significa che un qubit (l’equivalente quantistico del bit) può trovarsi non solo in due stati corrispondenti ai valori logici 0 e 1, ma può essere contemporaneamente sia nello stato 0, sia nello stato 1. Ne consegue che due qubit possono essere contemporaneamente nei quattro stati 00, 01, 10 e 11. Questo rende il qubit molto più versatile in problemi di calcolo rispetto al bit attuale.

Un qubit può essere definito dalla notazione matematica intendendo con ciò̀ che se misurato esso potrà̀ valere 0 con probabilità̀ |a|2 e 1 con probabilità |b|2, essendo a e b numeri complessi.

Il simbolo | ⟩ rappresenta un vettore orientato. Lo stato – è diverso dallo stato + , come si può̀ vedere dalla Figura 3. Lo stato di un qubit è rappresentato da un vettore che raggiunge un qualsiasi punto di una circonferenza.

Figura 3 – a e b numeri reali.

Assumiamo che i due stati siano equiprobabili. Nel caso in cui l’atomo viene illuminato per metà tempo, rispetto al tempo necessario per la commutazione, si ottiene una sovrapposizione di stati. Dunque, se il bit è |0>, diventa |0> + |1>. Ricevendo un altro impulso di luce uguale al precedente il bit passa allo stato |1>. Un impulso completo equivale all’operatore NOT, mentre un impulso di metà durata equivale alla radice quadrata di NOT. Vale la relazione:

x

Oltre all’operatore NOT esistono in meccanica quantistica altri tipi di operatori, che possono essere applicati alle grandezze |0> e |1> e alle loro combinazioni per trasformarle. Uno di questi è l’operatore di Hadamard (H).

Analizzando il circuito quantistico proposto da Deutsch come circuito universale per la costruzione di un computer quantistico, indicando con:

  • c – control input;
  • t – target input;

si evince che se si misurerà c e si otterrà 0 anche t sarà a 0; viceversa se misurando c si otterrà 1 t sarà anch’esso a 1. Questo perché́ il valore 0 di c non fa commutare t, mentre il valore 1 lo fa commutare. Entra in gioco il principio dell’entanglement: fenomeno quantistico, non riducibile alla meccanica classica, per cui in determinate condizioni due o più sistemi fisici rappresentano sottosistemi di un sistema più ampio il cui stato quantico non è descrivibile singolarmente, ma solo come sovrapposizione di più stati.

Figura 4 – Circuito quantistico che implementa l’algoritmo di Deutsch. U indica trasformazione.

Se due qubit sono entrambi nella sovrapposizione di 0 e 1 vengono definiti entangled se il risultato della misurazione di uno di essi è sempre correlato al risultato della misura dell’altro qubit.

L’entanglement, insieme alla sovrapposizione, è la chiave di volta dell’intero funzionamento del computer quantistico. Senza l’entanglement, infatti, come si potrebbero correlare i risultati ottenuti con i valori in ingresso.

Con i tre fondamentali meccanismi della sovrapposizione, dell’entanglement e dell’interferenza è possibile costruire un’intera logica circuitale quantistica, almeno a livello concettuale, con la quale si può mettere in luce la straordinaria capacità di calcolo di un computer quantistico.

Applicazioni del calcolo quantistico nell’AI

La ricerca derivante dall’interazione tra la teoria quantistica e l’IA può essere classificata approssimativamente in due categorie:

  1. utilizzando alcune idee dalla teoria quantistica per risolvere alcuni problemi nell’IA;
  2. l’applicazione di alcune idee sviluppate nell’IA alla teoria quantistica.

In alcune ricerche sono state osservate somiglianze tra la struttura matematica usata dalla comunità AI nell’analisi semantica del linguaggio naturale e quelle impiegate nella meccanica quantistica. L’osservazione di queste somiglianze è utile poiché può fornire suggerimenti su come si possono prendere in prestito alcune idee della meccanica quantistica nell’analisi semantica o anche più in generale nell’IA. Inoltre, se alcuni aspetti semantici dei linguaggi naturali possono essere espressi correttamente nel quadro della teoria quantistica, ad es. ambiguità per sovrapposizione, quindi il fatto che gli algoritmi quantistici siano adatti alla simulazione di sistemi quantistici suggerisce che il calcolo quantistico potrebbe accelerare notevolmente l’elaborazione del linguaggio naturale.

Nelson, McEvoy e Pointer hanno notato che le associazioni di parole nei linguaggi naturali possono mostrare “azioni spettrali a distanza”. Bruza et al. ha proposto un modello di associazioni di parole in termini di prodotti tensoriali in modo che “l’attivazione spettrale a distanza” possa essere descritta in modo simile all’entanglement quantistico.

Tra i vari punti d’incontro tra Quantum Computing e AI, abbiamo:

Reti bayesiane quantistiche

I problemi in cui il mondo presenta una vera casualità e i problemi in cui il mondo non è casuale, ma non perfettamente noto, si possono modellizzare tramite le reti di credenze (o reti di Bayes) e le reti di decisione (o diagrammi di influenza). Una rete di credenze è un grafo privo di cicli diretti in cui:

  • I nodi sono costituiti da un insieme di variabili casuali.
  • I nodi sono connessi da un insieme di archi che rappresentano le reciproche influenze causali.
  • Ogni nodo è caratterizzato da una tabella delle probabilità condizionate che quantifica gli effetti che i genitori hanno su di esso.

Il meccanismo di inferenza sulle reti di credenze calcola la distribuzione di probabilità a posteriori per un insieme di variabili di interrogazione, dati i valori esatti per alcune variabili di prova. Costruita la rete che modellizza il sistema, l’obiettivo della sua analisi è di collezionare evidenza e modificare il suo comportamento in base a tale evidenza.
Per modellare tale comportamento è necessaria una teoria statistica dell’evidenza, che si costruisce sul teorema di Bayes:

Dove:

  • : la probabilità che l’ipotesi sia vera data l’evidenza E;
  • la probabilità a priori che l’ipotesi sia vera in assenza di evidenza specifica.

Questa equazione è alla base di tutti i moderni sistemi di Intelligenza Artificiale per l’inferenza probabilistica, poiché permette di esprimere l’indipendenza condizionale tra variabili senza ricorrere ad una tabella di distribuzione di probabilità congiunte, semplificando notevolmente il calcolo dei risultati delle interrogazioni.
Infatti, definita la topologia di una rete di credenze, è sufficiente specificare la tabella delle probabilità condizionate per ogni nodo, ed il processo di aggiornamento bayesiano (l’inferenza) incorpora prove un pezzo alla volta modificando la credenza precedente nelle variabili ignote. Le reti di decisione estendono le reti di credenze incorporando le azioni e le utilità: le preferenze di un agente fra gli stati del mondo sono riassunte da una funzione di utilità, che associa ad ogni stato un singolo numero che ne esprime la desiderabilità. Le utilità si combinano con le probabilità delle azioni per fornire un’utilità attesa da ogni azione.
Massimizzando una funzione di utilità che riflette correttamente le misure di prestazione con cui viene giudicato il suo comportamento, un agente ottiene la miglior prestazione possibile.

Tucci ha introdotto una generalizzazione quantistica delle reti bayesiane in cui ai suoi nodi vengono assegnate ampiezze complesse piuttosto che probabilità e l’ha utilizzata per calcolare le probabilità per alcuni esperimenti fisici. Pearl ha introdotto la nozione di reti bayesiane causali che aumenta le reti bayesiane con un insieme di operazioni locali che specificano come si comportano le distribuzioni di probabilità rispetto agli interventi esterni. Per fornire un modello a grafo di causalità nel mondo quantistico, Laskey ha definito una nozione di reti causali quantistiche in cui le operazioni locali sono rappresentate da super-operatori che sono un formalismo matematico popolare delle dinamiche dei sistemi quantistici aperti.

Riconoscimento e discriminazione di stati quantistici e operazioni quantistiche

Il riconoscimento di modelli è il riconoscimento automatizzato di modelli e regolarità nei dati ha applicazioni nell’analisi statistica dei datinell’elaborazione dei segnalinell’analisi delle immagini, nel recupero delle informazioni, nella bioinformatica, nella compressione dei dati, nella computer grafica e nell’apprendimento automatico. È un’area importante dell’IA e la discriminazione degli oggetti può essere visto come un caso speciale di riconoscimento del modello. Tuttavia, solo il riconoscimento e la discriminazione degli oggetti classici sono stati considerati dai ricercatori di intelligenza artificiale. Negli ultimi 20 anni, una grande quantità di lavoro sulla discriminazione e il riconoscimento degli stati quantistici e delle operazioni quantistiche è stata condotta da fisici senza sapere molto sul lavoro esistente sull’IA. La discriminazione inequivocabile degli stati quantistici può essere formulata: Un sistema è preparato in un numero di serie finite conosciute di stati quantistici puri e speriamo di determinare in quale stato quantistico si trova effettivamente il sistema con il requisito che una volta riportato un risultato, deve essere vero. Questo problema è stato considerato per la prima volta da Ivanovic per il caso di n = 2. Il caso generale è stato esaminato da Chefles. È stato dimostrato che la probabilità di successo ottimale della discriminazione è matematicamente equivalente al noto problema di programmazione semidefinita. È stata fornita una stima della probabilità di successo. Il problema della discriminazione degli stati quantistici è stato generalizzato al caso degli stati misti.

Recentemente, la discriminazione delle operazioni quantistiche ha ricevuto una notevole attenzione. Il problema della discriminazione delle trasformazioni unitarie è stato risolto da Acín e D’Ariano, Presti e Paris. In particolare, una caratterizzazione completa della perfetta distinguibilità delle operazioni quantistiche è stata ottenuta scoprendo una condizione necessaria e sufficiente fattibile in base alla quale un’operazione quantistica sconosciuta scelta segretamente da un insieme finito di operazioni quantistiche può essere identificata perfettamente e progettando un protocollo ottimale per una tale discriminazione con un numero minimo di richieste. Un problema particolarmente interessante è la discriminazione delle operazioni quantistiche che agiscono su un sistema quantistico multipartito da operazioni locali e comunicazione classica. Sorprendentemente, è dimostrato che l’entanglement non è necessario per questo tipo di discriminazione degli operatori unitario. Il problema di riconoscimento dei pattern per gli stati quantistici è stato considerato da Sasaki e Carlini: dato un insieme di stati quantistici modello , decidere quale di essi è più vicino a uno stato di input . Una differenza essenziale tra il riconoscimento del modello quantistico e classico è che nel caso quantistico possono essere necessarie più copie del modello e degli stati di input poiché le misurazioni quantistiche sono impiegate nella strategia di riconoscimento e di solito cambiano gli stati dei sistemi misurati. È stato proposto un metodo di apprendimento bayesiano per svolgere il compito di riconoscimento di schemi quantistici.

Apprendimento di stati quantistici e operazioni quantistiche

Consideriamo un semplice esempio di apprendimento concettuale supervisionato. Nel caso classico, il set di dati di training è fornito nella forma di D = {(, c()): i = 1, …, n}, dove sono istanze e c() = 1 o 0 ∀ i.

Nel caso quantistico, le istanze sono sostituite da stati quantistici, |. Se le descrizioni delle istanze quantistiche | sono date in modo classico, il problema dell’apprendimento quantistico degenera immediatamente in un problema di apprendimento classico. Più interessante è il caso in cui non sono disponibili descrizioni classiche di questi stati quantistici. Per apprendere un concetto dal set di addestramento quantistico è necessario estrarre informazioni classiche da essi e quindi devono essere eseguite determinate misurazioni quantistiche su questi stati quantistici. Poiché queste misurazioni quantistiche distruggeranno gli stati quantistici originali, potrebbero essere necessarie più copie di questi stati quantistici. Ciò è contrario al caso classico.

La tomografia quantistica dello stato può essere vista come una sorta di apprendimento quantistico. Lo scenario è il seguente: esiste un processo fisico che può produrre ripetutamente uno stato quantistico. Prepariamo tutte le copie dello stato necessarie applicando questo processo. L’obiettivo è apprendere una descrizione dello stato dai risultati delle misurazioni eseguite su queste copie. Un problema simile per le operazioni quantistiche è noto come tomografia del processo quantistico di cui una teoria è stata sviluppata da Chuang e Nielsen e Poyatos, Cirac e Zoller.

Reti neurali quantistiche

Le reti neurali quantistiche sono modelli di reti neurali computazionali basati sui principi della meccanica quantistica . Le prime idee sul calcolo neurale quantistico sono state pubblicate indipendentemente nel 1995 da Subhash Kak e Ron Chrisley, impegnandosi con la teoria della mente quantistica, che postula che gli effetti quantistici giocano un ruolo nella funzione cognitiva. Tuttavia, la ricerca tipica sulle reti neurali quantistiche comporta la combinazione di modelli di reti neurali artificiali classici con i vantaggi dell’informazione quantistica al fine di sviluppare algoritmi più efficienti.  Una motivazione importante per queste indagini è la difficoltà di addestrare le reti neurali classiche, specialmente nelle applicazioni di big data . La maggior parte delle reti neurali quantistiche sono sviluppate come reti feed-forward. Simile alle loro controparti classiche, questa struttura riceve l’input da uno strato di qubit e lo trasferisce su un altro strato di qubit. Questo livello di qubit valuta queste informazioni e passa l’output al livello successivo. Alla fine, il percorso conduce allo strato finale di qubit. I livelli non devono essere della stessa larghezza, il che significa che non devono avere lo stesso numero di qubit del livello prima o dopo di esso. Questa struttura è addestrata su quale percorso prendere in modo simile alle reti neurali artificiali classiche. Questo è discusso in una sezione inferiore. Le reti neurali quantistiche si riferiscono a tre diverse categorie: computer quantistico con dati classici, computer classico con dati quantistici e computer quantistico con dati quantistici.

Algoritmi genetici quantistici

L’algoritmo genetico quantistico (QGA) è il prodotto della combinazione di calcolo quantistico e algoritmi genetici, ed è un nuovo algoritmo evolutivo di probabilità. Nel 1996, l’algoritmo genetico quantistico viene proposto per la prima volta da Narayanan e Moore, e viene utilizzato con successo per risolvere il problema del TSP. QGA è essenzialmente una sorta di algoritmo genetico e può essere applicato nel campo in cui può essere applicato l’algoritmo genetico convenzionale. L’efficienza di QGA è significativamente migliore rispetto all’algoritmo genetico convenzionale. Il QGA ha un piccolo valore della popolazione, una rapida velocità di convergenza, una grande capacità di ottimizzazione globale e una buona robustezza. Il vettore di stato quantistico viene introdotto nell’algoritmo genetico per esprimere il codice genetico e le porte logiche quantistiche vengono utilizzate per realizzare l’evoluzione cromosomica. In questo modo si ottengono risultati migliori.

Conclusioni

Le tre classi di ricerca per i ricercatori di intelligenza artificiale all’intersezione tra calcolo quantistico, teoria quantistica e intelligenza artificiale, sono:

• Progettare algoritmi quantistici per risolvere i problemi nell’IA in modo più efficiente;

• Sviluppare metodi più efficaci per formalizzare i problemi nell’IA prendendo in prestito idee dalla teoria quantistica;

• Sviluppare nuove tecniche di intelligenza artificiale per affrontare i problemi nel mondo quantistico.

La prima classe di ricerca è ancora nella fase iniziale di sviluppo e non sono stati compiuti molti progressi. Per quanto riguarda la seconda classe, negli ultimi anni la ricerca è diventata molto attiva, specialmente attraverso l’International Symposium on Quantum Interaction. Ma sembra che alcuni di questi lavori siano piuttosto superficiali e che sia necessaria un’analisi teorica più approfondita dei metodi formali sviluppati. In particolare, è necessaria una ricerca più sperimentale per testarne l’efficacia. Invece la ricerca di terza classe sta facendo progressi costanti.

Il potenziale dell’informatica quantistica nell’intelligenza artificiale sarà presto evidente, ma ancora non sappiamo come tradurre quel potenziale in realtà.

Riferimenti

[1] https://it.wikipedia.org/wiki/Porta_NOT_controllata.

[2] https://medium.com/@agus.bignu97/quantum-algorithms-2b6c9d7f80b9.

[3] D. Nelson, C.L. McEvoy, L. Pointer, Spreading activation or spooky action at a distance?, Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory and Cognition 29 (2003) 42–52.

[4] P. Bruza, K. Kitto, D. Nelson, C. McEvoy, Extracting spooky-activation-at-a-distance from considerations of entanglement, in: P. Bruza, et al. (Eds.), Proceedings of Third International Symposium on Quantum Interaction, in: LNCS, vol. 5494, Springer-Verlag, 2009, pp. 71–83.

[5] R. Schack, T.A. Brun, C.M. Caves, Quantum Bayes rule, Physical Review A 64 (2001) 014305.

[6] J. Pearl, Causality: Models, Reasoning, and Inference, Cambridge University Press, 2000.

[7] K.B. Laskey, Quantum causal networks, in: P.D. Bruza, W. Lawless, C.J. van Rijsbergen, D. Sofge (Eds.), Proceedings of the AAAI Spring Symposium on Quantum Interaction, AAAI Press, Menlo Park, 2007.

[8] I.D. Ivanovic, How to differentiate between nonorthonormal states, Physical Letters A 123 (1987) 257–259.

[9] A. Chefles, Unambiguous discrimination between linearly independent quantum states, Physical Letters A 239 (1998) 339–347.

[10] R. Schack, T.A. Brun, C.M. Caves, Quantum Bayes rule, Physical Review A 64 (2001) 014305.

[11] R.R. Tucci, Quantum Bayesian nets, International Journal of Modern Physics B 9 (1995) 295–337.

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[18] G.M. Wang, M.S. Ying, Unambiguous discrimination among quantum operations, Physical Review A 73 (4) (2006), art. no. 042301.

[19] Y. Feng, R.Y. Duan, M.S. Ying, Unambiguous discrimination between mixed quantum states, Physical Review A 70 (1) (2004), art. no. 012308.

[20] M. Sasaki, A. Carlini, Quantum learning and universal quantum matching machine, Physical Review A 66 (2002) 022303.

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